[통계] 조건부 확률

 

용어정리

• 일반적인 확률
  
  • 사건 A가 일어날 확률 P(A)는 P(A) = 사건A/전체U
• 조건부 확률
  • 조건이 있을 때의 확률... 확률의 분모가 전체가 아닌 일부분
  • 사건 A가 일어났을 때, 사건 B가 일어날 확률은 P(B|A)
  • P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = (사건 A와 B가 동시에 일어날 확률)/(사건 A가 일어날 확률)
    • P(B|A) : A일 때(조건) B가 될 확률 → B만 일어날 확률
    • P(A∩B): A와 B가 동시에 일어날 확률 → A도 B도 모두 일어날 확률
  • 베이즈 정리는 조건부 확률 공식의 변형!
  • 벤 다이어그램으로 나타내면 이런 느낌?
   

 

조건부 확률 예제 1

50명인 반에서 안경을 쓴 학생을 조사해보니 다음 표와 같은 결과를 얻었다.

	안경 O	안경 X	합계
남성	9	21	30
여성	3	17	20
합계	12	38	50

(1) 여성을 선택했을 때 그 사람이 안경을 썼을 확률은?

• 사건 A) 여성을 선택
• 사건 B) 그 사람이 안경을 쓴
• P(B|A) = 3/20

(2) 안경을 쓴 사람을 선택했을 때 그 사람이 여성일 확률은?

• 사건 A) 그 사람이 여성
• 사건 B) 안경을 쓴 사람 선택
• P(A|B) = 3/12 = 1/4

=> (1), (2) 둘 다 안경을 쓴 여성이 대상이지만, 조건에 따라 확률이 달라진다!

 

조건부 확률 예제 4

1~6까지 눈이 있는 주사위를 한 번 던져서 홀수 눈이 나올 때를 사건 A, 3의 눈이 나올 때를 사건 B라고 하자.

P(A), P(B), P(A∩B), P(B|A), P(A|B)의 값을 구하여라.

• 전체 집합 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• 사건 A = {1, 3, 5}
• 사건 B = {3}
• 홀수의 눈이 나올 확률 P(A) = 3/6 = 1/2
• 3의 눈이 나올 확률 P(B) = 1/6
• 홀수인 눈이고, 3인 눈이 나올 확률 P(A∩B) = 1/6
• 홀수인 눈이 나왔을 때 그것이 3인 확률 P(B|A) = 1/3
• 3인 눈이 나왔을 때 이것이 홀수일 확률 P(A|B) = 1 

 

직감에 속기 쉬운 조건부 확률 예제 1

구슬 11개 중 4개가 당첨되는 뽑기가 있다. 첫 번째에 당첨 구슬을 뽑을 때를 사건 A, 두 번째에 당첨 구슬을 뽑을 때를 사건 B라고 할 때, P(A), P(B), P(A∩B), P(B|A), P(A|B)의 값을 구하여라. (단, 뽑은 구슬은 다시 넣지 않는다.)

• 첫 번째에 당첨 구슬을 뽑을 확률 P(A) = 4/11
• 첫 번째에 당첨 구슬을 뽑고 두 번째에도 당첨 구슬을 뽑을 확률 P(A∩B) = 4/11 * 3/10 = 6/55
• 첫 번째에 당첨 구슬을 뽑았을 때 두 번째에도 당첨 구슬을 뽑을 확률 P(B|A) = 3/10
• 두 번째에 당첨 구슬을 뽑을 확률 P(B)는 두가지로 나누어 생각
  1. 첫 번째에 당첨 구슬을 뽑고, 두 번째에도 당첨 구슬을 뽑음 (P(A∩B) = 6/55)
  2. 첫 번째에 꽝인 구슬을 뽑고, 두 번째에 당첨 구슬을 뽑음
     • 첫 번째에 꼬앙인 구슬을 뽑을 확률 : 7/11
     • 두 번째에 당첨 구슬을 뽑음 : 4/10
     • 따라서 P(B) = ① + ② = 4/11 * 3/10 + 7/11 * 4/10 = 4/11
• P(A)와 P(B)가 같다는 것을 알 수 있음!
• 그렇다면 P(A|B)는 두 번째 당첨 구슬을 뽑았을 때 첫 번째에도 당첨 구슬을 뽑았을 확률이므로
  • P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = (6/55) / (4/11) = 3/10
  • 이는 당첨 구슬을 뽑을 확률 4/11과 다름...
• 그렇다면 다시 문제를 바꿔서

11개 가운데 당첨 구슬 4개를 뽑는다. 첫 번째에 뽑은 구슬이 꽝인지 당첨인지 확인하지 않고 다음 구슬을 뽑아 2, 3, 4, 5번째가 연속으로 당첨 구슬을 뽑을 때 첫 번째에 당첨 구슬을 뽑았을 확률을 구하여라.

• 이때의 답은 0이다. (당첨 구슬은 4개인데 2, 3, 4, 5번째 모두 당첨 구슬을 뽑았기 때문)

이 예제에서 알 수 있듯 확률은 변하지 않지만 조건부 확률은 달라진다. (미래가 과거에 영향을 준다는 말) 이러한 사고방식은 베이즈 정리에 영향을 줌.

 

 

 

 

Do it 첫 통계 with 베이즈 3.1 ~ 3.5 (p. 77 ~ 112)